Системы счисления

     В этой теме мы рассмотрим три системы счисления: десятичную, двоичную и шестнадцатеричную. Чтобы досконально изучить эти системы счисления необходима масса времени и специальной литературы или учится в университете на курсе программирования или математики. Не смотря на то, что эта тема очень велика и поэтому изложена сжато, вы узнаете самое важное и интересное.
     Система счисления – это система записи чисел с помощью определенного набора цифр.
     Число – это первичное понятие математики, математическая абстракция.
     Цифры – это математические знаки для обозначения чисел.
     Можно сказать, что система счисления – это информация представленная в виде набора цифр, например в можете наблюдать, как в различных графических программах цвета записываются в шестнадцатеричной системе счисления (#E4F7DC). Числа 1,2,3,4,5… называются натуральными или целыми положительными числами. Эти числа используются для счета предметов и для указания порядкового номера того или иного предмета среди однородных предметов. Для записи натуральных чисел пользуются десятичной системой счисления. Среди натуральных чисел есть наименьшее (число 1), но нет наибольшего, Число 0 (ноль) не считается натуральным.

Десятичная система счисления.

     Исторически эта система возникла при использовании для счета пальцев на руках. В привычной нам системе записи чисел - десятичной системе счисления – для записи чисел используется десять цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. В этой системе любое целое неотрицательное число представляется с помощью степеней числа 10 (10⁰=1;10¹=10;10²=100;10³=1000;10⁴=10000;10⁵=100000…). Число 10 является основанием этой системы счисления. Если число меньше 10, то записывается соответствующая ему одна цифра. Если число больше либо равно 10, но меньше 100, то оно представляется двумя цифрами: первая указывает количество полных десятков, содержащихся в числе, вторая – количество единиц в последнем не полном десятке.

Например:

87=80+7=8*10+7=8*10¹ +7*10⁰ =87₁₀.
     Индекс внизу указывает систему счисления, в которой записано исходное число. Если число больше либо равно 100, но меньше 1000, то для его записи используется уже три цифры. Первая цифра – это количество полных сотен, содержащихся в числе, вторая цифра – количество полных десятков в последней неполной сотне, третья цифра – количество единиц в последнем неполном десятке.

Например:

645=600+40+5=6*100+4*10+5=6*10²+4*10¹+5*10⁰=645₁₀.
     При таком подходе представления числа, большее либо равное 10000, требуется уже четыре цифры. Первая – количество полных тысяч, вторая - количество полных сотен, третья - количество полных десятков и четвертая - количество единиц.

Например:

2756=2000+700+50+6=2*1000+7*100+5*10+6=2*10³+7*10²+5*10¹+6*10⁰=2756₁₀
     Коэффициент в представлении десятичной системы счисления должен принимать значения от 0 до 9, причем коэффициент не должен быть равен 0. Если какой-либо из коэффициентов больше 9, то происходит переход к следующей степени.

Двоичная система счисления.

     Двоичная система счисления – это система, в которой для записи чисел используются две цифры 0 и 1.
     Основанием этой системы счисления является число 2. Для получения записи числа в двоичной системе счисления используется представления этого числа с помощью степеней числа 2. Рассмотрим на примерах, как представляются числа с помощью степеней числа 2. Предварительно приведем таблицу значений степеней числа 2.

     Используя эту таблицу можно записать:
0 =0*2⁰
1 =2⁰ = 1*2⁰
2 =2¹=1*2¹+0*2⁰
3 =2+1=2¹+2⁰=1*2¹+1*2⁰
4 =2²=1*2²+0*2¹+0*2⁰
5 =4+1=2²+2⁰=1*2+0*2¹+1*2⁰
6 =4+2=2²+2¹=1*2²+1*2¹+0*2⁰
7 =4+2+1=2²+2¹+2⁰=1*2²+1*2¹+1*2⁰
25 =16+8+1=2⁴+2³+2⁰=1*2⁴+1*2³+0*2²+0*2¹+1*2⁰

     В общем виде представление целого неотрицательного числа с помощью степеней двойки так же, как и представление в десятичной системе счисления, с заменой числа 10 на 2.
     Двоичный код чисел – запись этого числа в двоичной системе счисления.
     Коэффициент в представлении двоичной системы счисления должен принимать только одно из двух значений: 0 или 1. Это обеспечит однозначность такого представления. Если какой-либо из коэффициентов больше 1, то происходит переход к следующей степени числа 2.

Например:

2*2ⁿ=1*2ⁿ⁺¹; 3*2ⁿ=(2+1)*2ⁿ=1*2ⁿ⁺¹+1*2ⁿ.
     Старший коэффициент aⁿ всегда равен 1, т.е. двоичный код всегда начинается с1 (так же, как и десятичная, запись числа не может начинается с нуля).

Шестнадцатеричная система счисления.

     Шестнадцатеричная система счисления – это система счисления, в которой основанием является число 16. Любое целое положительное число представляется в этой системе счисления с помощью степеней числа 16.
     Для того, чтобы представления числа в шестнадцатеричной системе было однозначным, значение коэффициентов при степенях числа шестнадцать должны быть целыми числа от 0 до 15. Если значение коэффициента взять равным 16, то умножение какой-то степени числа 16 на этот коэффициент дает следующую степень числа 16:
16*16ⁿ=1*16ⁿ⁺¹
25*16ⁿ=(16+9)*16ⁿ=1*16ⁿ⁺¹+9*16ⁿ
Шестнадцатеричной записью целого положительного числа является последовательность коэффициентов из представления шестнадцатеричной системы счисления.
     В качестве коэффициентов для записи чисел в шестнадцатеричной системе используются шестнадцать символов: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Они называются шестнадцатеричными цифрами. Десятичные цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 сохраняют свои значения и в шестнадцатеричной системе: 0₁₀=0₁₆, 1₁₀=1₁₆…9₁₀=9₁₆. Символы A,B,C,D,E,F соответствуют десятичным числам от 10 до 15:

     Введение шестнадцатеричных цифр A,B,C,D,E,F является необходимым, т.к. при использовании в качестве коэффициентов в записях шестнадцатеричных чисел 10,11…15 появится неоднозначность в их прочтении.
     Широкое применение шестнадцатеричной системы счисления в программировании связано с тем, что содержимое одного байта можно записать двумя шестнадцатеричными цифрами.

Автор Мануйленко Павел

  Путь:  Главная Меню Системы счисления